微積分中的鏈鎖律
本篇文章是以極限與基礎微分技巧為基礎，如果你還不清楚一次微分跟極值的關係，建議先服用：
極值與微分技巧(請點我)
鏈鎖律（Chain Rule）是微積分中的重要技巧，尤其是偶爾會遇到函數長得不友善，導致不太會微分時，即可用這個方法將函數變得比較好處理的樣子。
在談完基本的微分技巧後，再來要談談更進階的情況。
有時候，函數中的 \( x \)不會就這麼剛好的寫成這種形式：
\( f(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\cdots \)
讓你微分得很輕鬆，例如下面這行式子：
\( f(x)=\sqrt{x+1} \)，求 \(f'(x)=\) ?
這裡我們就要用到微積分中的另外一個定律：鏈鎖律（Chain rule）
\(\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\)
第一次看到上面式子的人，應該會認為好像煞有其事，但又好像沒什麼，不過是一個分數乘法，把 \(du\) 消去後就跟原本一樣了嘛。
但事實上這並不是把數字相乘的概念，而是函數的變換，雖然最後的結果相似，但背後卻需要用到微積分基本定理去證明，但這裡不說太多。有興趣的請參考：鏈鎖律的詳細證明。
首先提一下微分的表示法，除了 \(f'(x)\) 以外，我們還可以寫成 \(\frac{d}{dx}f(x) \) 或是 \( \frac{df(x)}{dx}\)。
因為微分是「取斜率」的概念，斜率的定義就是「橫軸變化量分之縱軸變化量」，常記做 \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)。 如下圖的函數 \(f\) 之斜率為 \(\frac{u}{v}\)
而又因為我們可以將函數寫成 \(y=f(x) \)，所以 \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \) 可以寫成 \(\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} \) 。
而在微分式的寫法 “\(d\)” 其實只是想表達「變化很小」而已，其實意思和 “\(\Delta\)” 一樣。
接著我們就來看一下 \( f(x)=\sqrt{x+1} \) 這個函數如何使用鏈鎖律來拆解。
首先我們可以加入一個新的變數 \(u\)，並令 \(u=x+1\)
於是 \( f(x)=\sqrt{x+1} \) 搖身一變，成為了簡單的長相：
\( f(u) = \sqrt{u} \)
而鏈鎖律 \(\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\) 的意義就在於，若欲求得 \(f\) 對 \(x\) 的微分，可以分別計算「 \(f\) 對 \(u\) 的微分」與「 \(u\) 對 \(x\) 的微分」後，相乘即為答案。
因此我將計算過程列出如下：
\( \frac{df}{dx}=\frac{d\left(\sqrt{x+1}\right)}{dx} \)
\( =\frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
\( =\frac{d\sqrt{u}}{du}\cdot \frac{d(x+1)}{dx} \)
\( =\frac{d\left(u\right)^{\frac{1}{2}}}{du}\cdot \frac{d(x+1)}{dx} \) …把根號變成 \(\frac{1}{2}\)次方就知道怎麼微分
\(=\left(\frac{1}{2}\left(u\right)^{-\frac{1}{2}}\right)\cdot\left(1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+1\right)^{-\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x+1} }\)
來看一下你們原本已經會的微分：（如果不會的建議服用極值與微分技巧）
\(f(x)=(2x+1)^2\)
如果用你已經會的方式進行微分，過程會長的像下面這樣：
\( f(x) = (2x+1)^2 = 4x^2+4x+1 \Rightarrow f'(x)=8x+4 \)
如果你想要使用鏈鎖律會變成這樣：
令 \(u=2x+1\) ，則 \(f(u) = u^2 \)
由鏈鎖律：
\(\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx} = \frac{(u^2)}{du} \cdot \frac{2x+1}{dx} = 4u = 4(2x+1) = 8x+4\)
看起來 \(f(x)=(2x+1)^2\) 這個式子使用鏈鎖律來微分有點「殺雞焉用牛刀」的感覺，甚至有點化簡為繁、大材小用的意味。但若是複雜一點的函數，使用原本的方法是不太容易把 \( f(x)=\sqrt{x+1} \) 微分成 \(\frac{1}{2\sqrt{x+1} }\) 的。
司乃耳定律推導過程的微分
在介紹司乃耳定律公式的推導中，我們需要對這行式子做微分：（\(v_{1}、v_{2}、a、b、d\) 皆為已知常數）
\(t(x)=\frac{\sqrt{x^2+a^2} }{v_{1} }+\frac{\sqrt{(d-x)^2+b^2} }{v_{2}}\)
方法是將前後項拆開，分別微分在加起來：
令 \(t(x)= t_{1}(x)+t_{2}(x)\)； 其中 \( t_{1}(x)=\frac{\sqrt{x^2+a^2} }{v_{1} }\) ； \(t_{2}(x)=\frac{\sqrt{(d-x)^2+b^2} }{v_{2}}\)
令 \(u=x^2+a^2\) ； \(w = (d-x)^2 + b^2 \)
(1) 則 \(t_{1}(u) = \frac{1}{v_{1}} \sqrt{u}\)
\(\Rightarrow \frac{dt_{1} }{du}\cdot \frac{du}{dx}= \frac{d(\frac{1}{v_{1}} \sqrt{u})}{du} \cdot \frac{d(x^2+a^2)}{dx}\)
\(=(\frac{1}{v_{1}})\cdot \frac{d(\sqrt{u})}{du} \cdot \frac{d(x^2+a^2)}{dx}\)
\(=(\frac{1}{v_{1}})\cdot \frac{du^\frac{1}{2}}{du} \cdot \frac{d(x^2+a^2)}{dx}\)
\(=(\frac{1}{v_{1}})\cdot (\frac{1}{2} u^\left ( -\frac{1}{2} \right ) )\cdot(2x)\)
\(=(\frac{1}{v_{1}})\cdot (\frac{1}{2 \sqrt{u}})\cdot(2x)\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\cdot \frac{1}{v_{1}}\)
(2) 再做一次： \(t_{2}(w) = \frac{1}{v_{2}} \sqrt{w}\)
\(\Rightarrow \frac{dt_{2} }{dw}\cdot \frac{dw}{dx}= \frac{d(\frac{1}{v_{2}}\sqrt{w})}{dw}\cdot\frac{d[(d-x)^2+b^2]}{dx}\)
\( = \frac{1}{v_{2}}\cdot\frac{d(\sqrt{w})}{dw}\cdot\frac{d(d^2-2dx+x^2+b^2)}{dx} \)
\(=\frac{1}{v_{2}}\cdot\frac{d(w^\frac{1}{2})}{dw}\cdot\frac{d(d^2-2dx+x^2+b^2)}{dx} \)
\(=\frac{1}{v_{2}}\cdot\left ( \frac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}} \right ) \cdot (-2d+2x)\)
\(=\frac{1}{v_{2}}\cdot\left ( \frac{1}{2\sqrt{w}} \right )\cdot2(x-d)\)
\(=\frac{1}{v_{2}}\cdot\left ( \frac{1}{2\sqrt{(d-x)^2+b^2}} \right )\cdot2(x-d)\)
\(=\frac{x-d}{\sqrt{(d-x)^2+b^2}} \cdot\frac{1}{v_{2}}\)
(3) 最後，將兩者合併得到 \(t(x)\) 的微分：
\(t'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\cdot \frac{1}{v_{1}}+\frac{x-d}{\sqrt{(d-x)^2+b^2}} \cdot\frac{1}{v_{2}}\)
至於為甚麼可以把
\(t(x)=\frac{\sqrt{x^2+a^2} }{v_{1} }+\frac{\sqrt{(d-x)^2+b^2} }{v_{2}}\)
這行式子的前項與後項拆開來微分，背後也有一些數學內容要說明，但是此處就不贅述了。
視覺化理解Chain Rule
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