認識自然常數 e：微積分與科學中的神秘數字

對於國、高中的數理資優生來說，當你開始學習微積分、極限，甚至進一步接觸到一些科學定律，如化學的「反應速率定律式」或物理的「阻尼震盪」等，你會發現一個神奇的常數不斷出現——那就是 e。

這個數字是什麼？為什麼它在數學與自然科學中佔有如此重要的位置？讓我們從基本定義開始，一步一步認識它的美麗與力量。

1. 自然常數 e 的定義

自然常數 e 是一個無理數，近似為：

它的定義有許多種方式，以下是三個最常見的定義：

1.1 極限定義

當我們讓複利的次數趨近無限時，可以得到：

這個公式來自於金融學中的「連續複利」，也可視為最直觀的 e 的由來。

1.2 無窮級數定義

利用級數展開來定義 e：

這個定義在微積分與函數近似中非常常見。

1.3 微分方程中的定義

e 也是唯一使以下等式成立的底數：

也就是說，e 的指數函數是唯一一個微分後仍等於自己的函數。

2. 為什麼 e 如此重要？

自然常數 e 並非只是數學中的符號，它在多種自然現象中都真實存在：

• 人口成長模型： 人口以指數成長時，其變化符合 \( e^{kt} \) 型態。
• 化學反應速率： 一級反應中，濃度變化遵循 \( [A](t) = [A]_0 e^{-kt} \)。
• 物理阻尼振盪： 振幅衰減如 \( A(t) = A_0 e^{-\gamma t} \)。
• 統計學中的常態分布： 公式中包含 \( e \) 的高斯曲線。

3. e 的數學之美：Euler 恆等式

數學史上最經典的恆等式之一，也是許多人認為「最美的公式」：

它把五個最基本的數字：0、1、π、e、i 連結在一起，展現出數學的和諧與統一。

4. 延伸資源

如果你想更深入探索 e 的世界，以下是一些推薦的連結與影片：

• • Medium 文章介紹：
    
    [有趣數學系列] 甚麼是 e？
    
  • 維基百科條目：
    
    e（數學常數）
    

• YouTube 講解影片：