從導數定義證明鏈鎖律

在學習微積分時，我們會遇到一個非常重要的公式——鏈鎖律。這個公式告訴我們， 如果一個函數是由另一個函數套入的，該如何計算它的導數。今天，我們將從導數的定義出發， 一步一步地證明鏈鎖律，並用圖表幫助你理解這個過程！

1. 基本概念回顧

1.1 導數的定義

導數告訴我們函數在某一點變化的速度。用數學語言來說，如果 h(x) 是一個函數， 那麼它在 x 處的導數定義為：

$$ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(x+h) – h(x)}{h} $$

這個極限表示當 h 趨近於零時，函數在 x 附近變化的比率。

1.2 複合函數與鏈鎖律

假設我們有兩個可微分的函數：

• g(x)：內部函數
• f(u)：外部函數，其中 \( u = g(x) \)

那麼複合函數可以寫成：

$$ h(x) = f(g(x)) $$

鏈鎖律告訴我們這個複合函數的導數為：

$$ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

換句話說，要先求出 \( g(x) \) 的導數，再求 \( f(u) \) 在 \( u = g(x) \) 處的導數，兩者相乘就是 \( h(x) \) 的導數。

2. 證明過程

我們從導數的定義開始來證明鏈鎖律。

步驟 1：寫出導數的定義

對於複合函數 \( h(x)=f(g(x)) \)，按照導數的定義：

$$ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h)) – f(g(x))}{h} $$

這個公式表示當我們把 \( x \) 改變一個很小的量 \( h \) 時，複合函數的變化率。

步驟 2：加入中間項，拆分分子

為了方便處理這個分子，我們可以同時乘上一個看似等於 1 的項：

$$ \frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)} $$

這樣，我們可以將分子拆分成兩個部分：

$$ \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} = \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$

這一步的關鍵在於“拆分”變化率：第一部分類似於 \( f(u) \) 的變化率， 第二部分則是 \( g(x) \) 的變化率。

步驟 3：將極限拆分

因為極限運算滿足乘法法則，所以我們可以將極限拆開：

$$ h'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right] $$

若這兩個極限存在，我們有：

$$ h'(x) = \left( \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \right) \cdot \left( \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right) $$

步驟 4：利用 \( f \) 與 \( g \) 的可微性

對於 \( f(u) \)：
因為 \( f \) 在 \( u=g(x) \) 處可微，所以：

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} = f'(g(x)) $$

對於 \( g(x) \)：
同理，因為 \( g \) 在 \( x \) 處可微，所以：

$$ \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g'(x) $$

步驟 5：合併兩部分

將上述兩部分合併，我們得到：

$$ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

這就是我們要證明的鏈鎖律！