由畢氏定理證明時間膨脹

　　時間膨脹的概念聽起來很難理解，但事實上只需要用到中學學到的「畢氏定理（又稱勾股定理）」，就可以簡單證明！我們來看看下面的說明：

　　試想有一個空間，四周都是透明的玻璃，而頂部與底部都是鏡子，所以光線能夠在這個空間中上下移動。下面的圖片演示了一顆光子由空間底部移動到了頂部的情形。

而若我們將這個裝置放在一個用速度v超快速移動的飛機中，你會看到這個光子的軌跡如下圖所示的折線：

　　單看光子由最下面跑到最上面的這個過程，若站在飛機裡的人會看到左下圖，就是只從底部跑到頂部；而在外面靜止的人則會看到右下圖，光子的軌跡是一條斜直線，而飛機則是水平飛行，而且光子的水平位移和飛機一樣（因為光子就在飛機裡）。

　　想像我們自己在的飛機裡，飛機外靜止的人看飛機的速度為 \(v\)，而在飛機裡的我們看到光從最下面跑到最上面花了 \(t\) 秒，這時候我們想知道，飛機外靜止的人看到這件事情所經歷的時間 \(t’\) 多久，則我們可以把先前的圖標記成這樣：

        然後我們把這兩張圖合併，變成這樣：

　　這裡看到一個直角三角形，若我們使用畢氏定理就可以寫出：

\((ct)^2+(vt’)^2=(ct’)^2\)

展開 \(⟹c^2t^2+v^2 t’^2=c^2 t’^2\)

將 \(t’ \) 整合 \(⟹(c^2-v^2) t’^2=c^2t^2 \)

同除 \(c^2 ⟹ (1-\frac{v^2}{c^2} ) t’^2= t^2 \)

移項 \( ⟹ t’^2=\left( \frac{1}{\left (1-\frac{v^2}{c^2}\right)} \right ) t^2 \)

開根號 \( ⟹ \)

 

　　上面這行就是著名的時間膨脹公式，那這行公式帶給我們什麼啟發呢？你會發現，這行公式的分母　\(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\) 這一項永遠是小於 1 的，所以可知 \( t’ \)（觀察者看到的時間）永遠比 \( t \)（飛機上的時間）還要大。

　　而且你會發現，當飛機的速度 \(v\) 愈大， \( t’ \) （觀察者看到的時間）就會愈大，所以這裡我們可以有這樣的結論「當物體運動速度愈快時，他的時間相對於靜止的觀察者而言，過的越慢」。