極值與微分技巧
在物理的概念中，微分技巧是時常用到的工具，而也是有了這項工具後，物理中許多的概念更能具象化，而不是淪為「好像愈來愈大、漸漸變小」這類的模糊概念。
在國中的課程中有提過二次函數的極值，
例如以 \( y=ax^2-bx+c \) 這條式子，在 \( x = 1 \) 時 \( y \) 有最小值 \( 0\) 。
國中找極值的作法是把 \( y = ax^2 + bx + c \) 的形式使用配方法，試圖做出 \( y – h = a(x-k)^2 \) 的形式。
那麼就可以說在 \( x = k \) 時， \( y \) 有極值 \( h \) （當 \( a<0 \) ， \( h \) 為最大值；當 \( a>0 \) ， \( h \) 為最小值）。
※註：如果你對上述的概念有些不明白，請參考。
但是如果今天我給你一個函數 \( y = x^4 -2x^2+1 \) ，請問他的最小值為多少？
當然你可以試著代數字、猜猜看，但如果函數越來越複雜呢？
這裡要簡單講一下微分的基本技巧（暫不牽涉太多數學證明及極限概念）
若今有個函數 \( f(x) = x^2+1 \) 經由微分後，可以得到 \( f'(x) = 2x \)。
(\( f’ \) 念作 f prime，表示函數 \( f(x) \) 的一次微分(或稱一階微分, First-order Differentiation)，如果再微分一次就是 \( f” \) ，再一次就是 \( f”’ \)。
上述的技巧有個原則：
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※舉幾個例子：（任何數乘以0，皆變成0；任何數的0次方，定義為1）
| 原函數 | 一次微分 |
| \( f(x) = 3 = 3x^ 0\) | \(f'(x)=0\times 3\times x^{-1} =0 \) |
| \( f(x)=5x=5x^1 \) | \(f'(x)=1\times 5\times x^{0} =5 \) |
| \(f(x)=2x^2 \) | \( f'(x)=2\times 2\times x^{1} =4x \) |
| \( f(x)=4x^3 \) | \( f'(x)=3\times 4\times x^{2} =12x^{2} \) |
| \( f(x)=5x+3 \) | \( f'(x)=1\times 5\times x^{0} + 0\times 3\times x^{-1} = 5+0=5 \) |
| \( f(x)=4x^3+2x^2+5x+3 \) | \( f'(x)= 12x^2 +4x+5 \) |
如果對於微分的概念有稍微理解的人就會知道，把函數微分就是找「斜率」的概念，
例如以 \( f(x)=y=x^2-2x+1 \) 為例，將此函數做一次微分後，可得到 \( f'(x) = 2x -2=2(x-1) \) 。
如果我們帶入一些 \(x\) 的值進去，例如：
\(x=0\Rightarrow f'(0)=2\times (0-1)=-2 \) ，這代表在 \( x = 0 \) 時，此函數圖形的「切線斜率」為「\( – 2 \)」
再試試看另一個點，我們這次代 \(x=2\) 進去，可得 \( f'(2)=2 \times (2-1) = 2\) ，畫出來就是：
很快你會發現，在極值發生的地點有個特性：切線為水平直線，也就是斜率 = 0。
因此我們會發現在 \(x=1\) 處， \(f'(1) = 2 \times (1-1) = 0 \)
回到前面的問題：求一函數 \(f(x)=x^4-2x^2+1\) 的極值。
我們只要把它做一次微分，就可以得到：
\( f'(x) = 4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x+1)(x-1) \)
因此我們要找極值出現的地方就在 \(f'(x)=0\)處，也就是：
\(4x(x+1)(x-1) =0 \Rightarrow x=0 \) or \(x=1\) or \(x=-1\) 處。
看看圖形：
的確是在 \( x=0 \) or \( x=1 \) or \( x=-1 \) 處有極大、極小值。
因此可以看出這個函數的最小值為 0 ，而且發生在 \(x=1 \) or \( x=-1 \) 處。
但此圖形在 \(x<-1\) 以及 \(x>1\) 處，\(y\) 值會愈來越大（直到無限大），因此此函數最大值是無限大。
不過如果把範圍限制在 \(-1<x<1\) 內，則有區域最大值 1 ，發生在 \(x=0 \) 處。
事實上，極值發生處必定「一次微分 = 0」，但一次微分 = 0 並不一定會出現極值，例如 \(f(x) = x^3\) 在 \( x=0 \) 處，一次微分 \( f'(x)= 3x^2 = 3 \times 0^2 = 0 \) ，但此處並非極值。
所以其實我們除了一階微分 = 0 以外，還需要檢測二階微分，才知道該點是否具有極值（但其實最快的方式是先把圖畫出來哈哈）。有興趣的同學，可以再深入討論。
※ 延伸學習：微積分中的鏈鎖律
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